Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20527 / 4145
↖ ↑ ↗
← N 79.069729°
E 45.516357°		 ← 231.64 m → N 79.069729°
E 45.527344°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
N 79.067646°
E 45.516357°		 ← 231.68 m →
53 664 m²		 N 79.067646°
E 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626449584960938 y=0.126510620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626449584960938 × 215)
    floor (0.626449584960938 × 32768)
    floor (20527.5)     		tx = 20527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126510620117188 × 215)
    floor (0.126510620117188 × 32768)
    floor (4145.5)     		ty = 4145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20527 / 4145 ti = "15/20527/4145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20527/4145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20527 ÷ 215
    20527 ÷ 32768     		x = 0.626434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4145 ÷ 215
    4145 ÷ 32768     		y = 0.126495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626434326171875 × 2 - 1) × π
    0.25286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79441030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126495361328125 × 2 - 1) × π
    0.74700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34679885779947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79441030} λ = 0.79441030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34679885779947))-π/2
    2×atan(10.4520575921535)-π/2
    2×1.4754117186492-π/2
    2.9508234372984-1.57079632675     		φ = 1.38002711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79441030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.516357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38002711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.069729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20527 KachelY 4145 0.79441030 1.38002711 45.516357 79.069729
    Oben rechts KachelX + 1 20528 KachelY 4145 0.79460205 1.38002711 45.527344 79.069729
    Unten links KachelX 20527 KachelY + 1 4146 0.79441030 1.37999075 45.516357 79.067646
    Unten rechts KachelX + 1 20528 KachelY + 1 4146 0.79460205 1.37999075 45.527344 79.067646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38002711-1.37999075) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dl = 231.649559999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38002711-1.37999075) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dr = 231.649559999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79441030-0.79460205) × cos(1.38002711) × R
    0.000191749999999935 × 0.189614213178941 × 6371000     		do = 231.640165177183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79441030-0.79460205) × cos(1.37999075) × R
    0.000191749999999935 × 0.189649913434877 × 6371000     		du = 231.68377801107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38002711)-sin(1.37999075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189614213178941-0.189649913434877)×R²
    abs(0.79460205-0.79441030)×3.57002559362996e-05×R²
    0.000191749999999935×3.57002559362996e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.57002559362996e-05×40589641000000     		ar = 53664.3937944801m²