Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20528 / 4080
↖ ↑ ↗
← N 79.204309°
E 45.527344°		 ← 228.82 m → N 79.204309°
E 45.538330°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
N 79.202251°
E 45.527344°		 ← 228.87 m →
52 370 m²		 N 79.202251°
E 45.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626480102539062 y=0.124526977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626480102539062 × 215)
    floor (0.626480102539062 × 32768)
    floor (20528.5)     		tx = 20528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124526977539062 × 215)
    floor (0.124526977539062 × 32768)
    floor (4080.5)     		ty = 4080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20528 / 4080 ti = "15/20528/4080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20528/4080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20528 ÷ 215
    20528 ÷ 32768     		x = 0.62646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4080 ÷ 215
    4080 ÷ 32768     		y = 0.12451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79460205} λ = 0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35926245170068))-π/2
    2×atan(10.5831429941134)-π/2
    2×1.47658615410543-π/2
    2.95317230821086-1.57079632675     		φ = 1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20528 KachelY 4080 0.79460205 1.38237598 45.527344 79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 20529 KachelY 4080 0.79479380 1.38237598 45.538330 79.204309
    Unten links KachelX 20528 KachelY + 1 4081 0.79460205 1.38234006 45.527344 79.202251
    Unten rechts KachelX + 1 20529 KachelY + 1 4081 0.79479380 1.38234006 45.538330 79.202251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38237598-1.38234006) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38237598-1.38234006) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79460205-0.79479380) × cos(1.38237598) × R
    0.000191750000000046 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 228.822113012941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79460205-0.79479380) × cos(1.38234006) × R
    0.000191750000000046 × 0.187342717997388 × 6371000     		du = 228.865217507345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38237598)-sin(1.38234006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187342717997388)×R²
    abs(0.79479380-0.79460205)×3.5284143337394e-05×R²
    0.000191750000000046×3.5284143337394e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.5284143337394e-05×40589641000000     		ar = 52370.0306560874m²