Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20532 / 4148
↖ ↑ ↗
← N 79.063478°
E 45.571289°		 ← 231.77 m → N 79.063478°
E 45.582276°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
N 79.061393°
E 45.571289°		 ← 231.81 m →
53 739 m²		 N 79.061393°
E 45.582276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626602172851562 y=0.126602172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626602172851562 × 215)
    floor (0.626602172851562 × 32768)
    floor (20532.5)     		tx = 20532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126602172851562 × 215)
    floor (0.126602172851562 × 32768)
    floor (4148.5)     		ty = 4148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20532 / 4148 ti = "15/20532/4148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20532/4148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20532 ÷ 215
    20532 ÷ 32768     		x = 0.6265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4148 ÷ 215
    4148 ÷ 32768     		y = 0.1265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6265869140625 × 2 - 1) × π
    0.253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79536904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    0.746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34622361500403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79536904} λ = 0.79536904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34622361500403))-π/2
    2×atan(10.4460468503098)-π/2
    2×1.47535716614006-π/2
    2.95071433228011-1.57079632675     		φ = 1.37991801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79536904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37991801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.063478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20532 KachelY 4148 0.79536904 1.37991801 45.571289 79.063478
    Oben rechts KachelX + 1 20533 KachelY 4148 0.79556079 1.37991801 45.582276 79.063478
    Unten links KachelX 20532 KachelY + 1 4149 0.79536904 1.37988162 45.571289 79.061393
    Unten rechts KachelX + 1 20533 KachelY + 1 4149 0.79556079 1.37988162 45.582276 79.061393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37991801-1.37988162) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37991801-1.37988162) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79536904-0.79556079) × cos(1.37991801) × R
    0.000191750000000046 × 0.189721332831283 × 6371000     		do = 231.771026749064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79536904-0.79556079) × cos(1.37988162) × R
    0.000191750000000046 × 0.189757061789692 × 6371000     		du = 231.814674647018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37991801)-sin(1.37988162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189721332831283-0.189757061789692)×R²
    abs(0.79556079-0.79536904)×3.57289584092813e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57289584092813e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57289584092813e-05×40589641000000     		ar = 53739.0144489113m²