Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20542 / 4158
↖ ↑ ↗
← N 79.042615°
E 45.681152°		 ← 232.21 m → N 79.042615°
E 45.692139°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
N 79.040527°
E 45.681152°		 ← 232.25 m →
53 929 m²		 N 79.040527°
E 45.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626907348632812 y=0.126907348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626907348632812 × 215)
    floor (0.626907348632812 × 32768)
    floor (20542.5)     		tx = 20542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126907348632812 × 215)
    floor (0.126907348632812 × 32768)
    floor (4158.5)     		ty = 4158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20542 / 4158 ti = "15/20542/4158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20542/4158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20542 ÷ 215
    20542 ÷ 32768     		x = 0.62689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4158 ÷ 215
    4158 ÷ 32768     		y = 0.12689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62689208984375 × 2 - 1) × π
    0.2537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79728651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12689208984375 × 2 - 1) × π
    0.7462158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34430613901923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79728651} λ = 0.79728651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34430613901923))-π/2
    2×atan(10.4260359976341)-π/2
    2×1.47517510176203-π/2
    2.95035020352405-1.57079632675     		φ = 1.37955388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79728651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37955388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.042615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20542 KachelY 4158 0.79728651 1.37955388 45.681152 79.042615
    Oben rechts KachelX + 1 20543 KachelY 4158 0.79747826 1.37955388 45.692139 79.042615
    Unten links KachelX 20542 KachelY + 1 4159 0.79728651 1.37951743 45.681152 79.040527
    Unten rechts KachelX + 1 20543 KachelY + 1 4159 0.79747826 1.37951743 45.692139 79.040527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37955388-1.37951743) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dl = 232.222950000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37955388-1.37951743) × R
    3.64500000000767e-05 × 6371000     		dr = 232.222950000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79728651-0.79747826) × cos(1.37955388) × R
    0.000191750000000046 × 0.190078836908826 × 6371000     		do = 232.207767762226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79728651-0.79747826) × cos(1.37951743) × R
    0.000191750000000046 × 0.190114622256406 × 6371000     		du = 232.251484547405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37955388)-sin(1.37951743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190078836908826-0.190114622256406)×R²
    abs(0.79747826-0.79728651)×3.57853475797532e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57853475797532e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57853475797532e-05×40589641000000     		ar = 53929.0488687974m²