Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20544 / 28736
↖ ↑ ↗
← S 79.302640°
E 45.703125°		 ← 226.76 m → S 79.302640°
E 45.714111°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 79.304679°
E 45.703125°		 ← 226.72 m →
51 412 m²		 S 79.304679°
E 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626968383789062 y=0.876968383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626968383789062 × 215)
    floor (0.626968383789062 × 32768)
    floor (20544.5)     		tx = 20544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876968383789062 × 215)
    floor (0.876968383789062 × 32768)
    floor (28736.5)     		ty = 28736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20544 / 28736 ti = "15/20544/28736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20544/28736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20544 ÷ 215
    20544 ÷ 32768     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28736 ÷ 215
    28736 ÷ 32768     		y = 0.876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876953125 × 2 - 1) × π
    -0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36846633642773))-π/2
    2×atan(0.0936242042580125)-π/2
    2×0.0933520799532962-π/2
    0.186704159906592-1.57079632675     		φ = -1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20544 KachelY 28736 0.79767001 -1.38409217 45.703125 -79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 20545 KachelY 28736 0.79786176 -1.38409217 45.714111 -79.302640
    Unten links KachelX 20544 KachelY + 1 28737 0.79767001 -1.38412776 45.703125 -79.304679
    Unten rechts KachelX + 1 20545 KachelY + 1 28737 0.79786176 -1.38412776 45.714111 -79.304679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38409217--1.38412776) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38409217--1.38412776) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(-1.38409217) × R
    0.000191749999999935 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 226.762318372986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(-1.38412776) × R
    0.000191749999999935 × 0.185586371492202 × 6371000     		du = 226.719595679878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38409217)-sin(-1.38412776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.185586371492202)×R²
    abs(0.79786176-0.79767001)×3.49716113886567e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49716113886567e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49716113886567e-05×40589641000000     		ar = 51412.1266241988m²