Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20544 / 4160
↖ ↑ ↗
← N 79.038438°
E 45.703125°		 ← 232.30 m → N 79.038438°
E 45.714111°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
N 79.036348°
E 45.703125°		 ← 232.34 m →
53 979 m²		 N 79.036348°
E 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626968383789062 y=0.126968383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626968383789062 × 215)
    floor (0.626968383789062 × 32768)
    floor (20544.5)     		tx = 20544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126968383789062 × 215)
    floor (0.126968383789062 × 32768)
    floor (4160.5)     		ty = 4160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20544 / 4160 ti = "15/20544/4160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20544/4160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20544 ÷ 215
    20544 ÷ 32768     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4160 ÷ 215
    4160 ÷ 32768     		y = 0.126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126953125 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34392264382227))-π/2
    2×atan(10.4220384294788)-π/2
    2×1.47513864773884-π/2
    2.95027729547768-1.57079632675     		φ = 1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20544 KachelY 4160 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 20545 KachelY 4160 0.79786176 1.37948097 45.714111 79.038438
    Unten links KachelX 20544 KachelY + 1 4161 0.79767001 1.37944450 45.703125 79.036348
    Unten rechts KachelX + 1 20545 KachelY + 1 4161 0.79786176 1.37944450 45.714111 79.036348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37948097-1.37944450) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37948097-1.37944450) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(1.37948097) × R
    0.000191749999999935 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 232.295213017383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(1.37944450) × R
    0.000191749999999935 × 0.190186221646198 × 6371000     		du = 232.338953172117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37948097)-sin(1.37944450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.190186221646198)×R²
    abs(0.79786176-0.79767001)×3.58044772499344e-05×R²
    0.000191749999999935×3.58044772499344e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.58044772499344e-05×40589641000000     		ar = 53978.9602209244m²