Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20544 / 4287
↖ ↑ ↗
← N 78.769932°
E 45.703125°		 ← 237.91 m → N 78.769932°
E 45.714111°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 78.767792°
E 45.703125°		 ← 237.96 m →
56 618 m²		 N 78.767792°
E 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626968383789062 y=0.130844116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626968383789062 × 215)
    floor (0.626968383789062 × 32768)
    floor (20544.5)     		tx = 20544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130844116210938 × 215)
    floor (0.130844116210938 × 32768)
    floor (4287.5)     		ty = 4287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20544 / 4287 ti = "15/20544/4287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20544/4287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20544 ÷ 215
    20544 ÷ 32768     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4287 ÷ 215
    4287 ÷ 32768     		y = 0.130828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130828857421875 × 2 - 1) × π
    0.73834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31957069881528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31957069881528))-π/2
    2×atan(10.1713068145901)-π/2
    2×1.47279549183509-π/2
    2.94559098367019-1.57079632675     		φ = 1.37479466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37479466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.769932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20544 KachelY 4287 0.79767001 1.37479466 45.703125 78.769932
    Oben rechts KachelX + 1 20545 KachelY 4287 0.79786176 1.37479466 45.714111 78.769932
    Unten links KachelX 20544 KachelY + 1 4288 0.79767001 1.37475731 45.703125 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 20545 KachelY + 1 4288 0.79786176 1.37475731 45.714111 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37479466-1.37475731) × R
    3.73500000001581e-05 × 6371000     		dl = 237.956850001007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37479466-1.37475731) × R
    3.73500000001581e-05 × 6371000     		dr = 237.956850001007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(1.37479466) × R
    0.000191749999999935 × 0.194749120466396 × 6371000     		do = 237.913169464647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79786176) × cos(1.37475731) × R
    0.000191749999999935 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 237.957923885046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37479466)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194749120466396-0.194785755193382)×R²
    abs(0.79786176-0.79767001)×3.66347269856737e-05×R²
    0.000191749999999935×3.66347269856737e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.66347269856737e-05×40589641000000     		ar = 56618.3931962861m²