Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20545 / 4161
↖ ↑ ↗
← N 79.036348°
E 45.714111°		 ← 232.33 m → N 79.036348°
E 45.725097°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
N 79.034258°
E 45.714111°		 ← 232.37 m →
53 986 m²		 N 79.034258°
E 45.725097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626998901367188 y=0.126998901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626998901367188 × 215)
    floor (0.626998901367188 × 32768)
    floor (20545.5)     		tx = 20545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126998901367188 × 215)
    floor (0.126998901367188 × 32768)
    floor (4161.5)     		ty = 4161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20545 / 4161 ti = "15/20545/4161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20545/4161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20545 ÷ 215
    20545 ÷ 32768     		x = 0.626983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4161 ÷ 215
    4161 ÷ 32768     		y = 0.126983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79786176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126983642578125 × 2 - 1) × π
    0.74603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34373089622379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79786176} λ = 0.79786176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34373089622379))-π/2
    2×atan(10.4200402202207)-π/2
    2×1.47512041557976-π/2
    2.95024083115951-1.57079632675     		φ = 1.37944450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79786176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37944450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.036348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20545 KachelY 4161 0.79786176 1.37944450 45.714111 79.036348
    Oben rechts KachelX + 1 20546 KachelY 4161 0.79805350 1.37944450 45.725097 79.036348
    Unten links KachelX 20545 KachelY + 1 4162 0.79786176 1.37940803 45.714111 79.034258
    Unten rechts KachelX + 1 20546 KachelY + 1 4162 0.79805350 1.37940803 45.725097 79.034258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37944450-1.37940803) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37944450-1.37940803) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79786176-0.79805350) × cos(1.37944450) × R
    0.000191739999999996 × 0.190186221646198 × 6371000     		do = 232.32683640801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79786176-0.79805350) × cos(1.37940803) × R
    0.000191739999999996 × 0.190222025870489 × 6371000     		du = 232.370573972632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37944450)-sin(1.37940803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190186221646198-0.190222025870489)×R²
    abs(0.79805350-0.79786176)×3.58042242906975e-05×R²
    0.000191739999999996×3.58042242906975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.58042242906975e-05×40589641000000     		ar = 53986.3076258995m²