Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20547 / 4163
↖ ↑ ↗
← N 79.032169°
E 45.736084°		 ← 232.43 m → N 79.032169°
E 45.747070°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
N 79.030078°
E 45.736084°		 ← 232.47 m →
54 039 m²		 N 79.030078°
E 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627059936523438 y=0.127059936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627059936523438 × 215)
    floor (0.627059936523438 × 32768)
    floor (20547.5)     		tx = 20547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127059936523438 × 215)
    floor (0.127059936523438 × 32768)
    floor (4163.5)     		ty = 4163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20547 / 4163 ti = "15/20547/4163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20547/4163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20547 ÷ 215
    20547 ÷ 32768     		x = 0.627044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4163 ÷ 215
    4163 ÷ 32768     		y = 0.127044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627044677734375 × 2 - 1) × π
    0.25408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79824525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127044677734375 × 2 - 1) × π
    0.74591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34334740102683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79824525} λ = 0.79824525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34334740102683))-π/2
    2×atan(10.4160449509763)-π/2
    2×1.47508394096351-π/2
    2.95016788192702-1.57079632675     		φ = 1.37937156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79824525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.736084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37937156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.032169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20547 KachelY 4163 0.79824525 1.37937156 45.736084 79.032169
    Oben rechts KachelX + 1 20548 KachelY 4163 0.79843700 1.37937156 45.747070 79.032169
    Unten links KachelX 20547 KachelY + 1 4164 0.79824525 1.37933507 45.736084 79.030078
    Unten rechts KachelX + 1 20548 KachelY + 1 4164 0.79843700 1.37933507 45.747070 79.030078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37937156-1.37933507) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37937156-1.37933507) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79824525-0.79843700) × cos(1.37937156) × R
    0.000191749999999935 × 0.190257829841773 × 6371000     		do = 232.426432554452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79824525-0.79843700) × cos(1.37933507) × R
    0.000191749999999935 × 0.190293653194547 × 6371000     		du = 232.470195768267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37937156)-sin(1.37933507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190257829841773-0.190293653194547)×R²
    abs(0.79843700-0.79824525)×3.5823352773745e-05×R²
    0.000191749999999935×3.5823352773745e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.5823352773745e-05×40589641000000     		ar = 54039.0703719026m²