Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20548 / 12356
↖ ↑ ↗
← N 40.413496°
E 45.747070°		 ← 930.14 m → N 40.413496°
E 45.758057°		 →
↑
930.17 m
↓
↑
930.17 m
↓
N 40.405131°
E 45.747070°		 ← 930.25 m →
865 237 m²		 N 40.405131°
E 45.758057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627090454101562 y=0.377090454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627090454101562 × 215)
    floor (0.627090454101562 × 32768)
    floor (20548.5)     		tx = 20548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377090454101562 × 215)
    floor (0.377090454101562 × 32768)
    floor (12356.5)     		ty = 12356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20548 / 12356 ti = "15/20548/12356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20548/12356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20548 ÷ 215
    20548 ÷ 32768     		x = 0.6270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12356 ÷ 215
    12356 ÷ 32768     		y = 0.3770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.772359326678345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79843700} λ = 0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772359326678345))-π/2
    2×atan(2.16486786374222)-π/2
    2×1.13807244754355-π/2
    2.27614489508711-1.57079632675     		φ = 0.70534857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70534857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.413496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20548 KachelY 12356 0.79843700 0.70534857 45.747070 40.413496
    Oben rechts KachelX + 1 20549 KachelY 12356 0.79862875 0.70534857 45.758057 40.413496
    Unten links KachelX 20548 KachelY + 1 12357 0.79843700 0.70520257 45.747070 40.405131
    Unten rechts KachelX + 1 20549 KachelY + 1 12357 0.79862875 0.70520257 45.758057 40.405131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70534857-0.70520257) × R
    0.000145999999999979 × 6371000     		dl = 930.165999999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70534857-0.70520257) × R
    0.000145999999999979 × 6371000     		dr = 930.165999999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79843700-0.79862875) × cos(0.70534857) × R
    0.000191750000000046 × 0.761385620346375 × 6371000     		do = 930.138558200954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79843700-0.79862875) × cos(0.70520257) × R
    0.000191750000000046 × 0.761480263923896 × 6371000     		du = 930.254178510014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70534857)-sin(0.70520257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761385620346375-0.761480263923896)×R²
    abs(0.79862875-0.79843700)×9.46435775205368e-05×R²
    0.000191750000000046×9.46435775205368e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.46435775205368e-05×40589641000000     		ar = 865237.03670455m²