Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2055 / 2045
↖ ↑ ↗
← N  0.263671°
E  0.615235°		 ← 9 772.88 m → N  0.263671°
E  0.703125°		 →
↑
9 772.92 m
↓
↑
9 772.92 m
↓
N  0.175781°
E  0.615235°		 ← 9 772.94 m →
95 509 932 m²		 N  0.175781°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5018310546875 y=0.4993896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5018310546875 × 212)
    floor (0.5018310546875 × 4096)
    floor (2055.5)     		tx = 2055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4993896484375 × 212)
    floor (0.4993896484375 × 4096)
    floor (2045.5)     		ty = 2045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2055 / 2045 ti = "12/2055/2045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2055/2045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2055 ÷ 212
    2055 ÷ 4096     		x = 0.501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2045 ÷ 212
    2045 ÷ 4096     		y = 0.499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01073787} λ = 0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(1.00461254756221)-π/2
    2×0.787699126457641-π/2
    1.57539825291528-1.57079632675     		φ = 0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2055 KachelY 2045 0.01073787 0.00460193 0.615235 0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 2056 KachelY 2045 0.01227185 0.00460193 0.703125 0.263671
    Unten links KachelX 2055 KachelY + 1 2046 0.01073787 0.00306796 0.615235 0.175781
    Unten rechts KachelX + 1 2056 KachelY + 1 2046 0.01227185 0.00306796 0.703125 0.175781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00460193-0.00306796) × R
    0.00153397 × 6371000     		dl = 9772.92287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00460193-0.00306796) × R
    0.00153397 × 6371000     		dr = 9772.92287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01073787-0.01227185) × cos(0.00460193) × R
    0.00153398 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 9772.88309520184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01073787-0.01227185) × cos(0.00306796) × R
    0.00153398 × 0.999995293814411 × 6371000     		du = 9772.9405865114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00460193)-sin(0.00306796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.999995293814411)×R²
    abs(0.01227185-0.01073787)×5.88267558565558e-06×R²
    0.00153398×5.88267558565558e-06×6371000²
    0.00153398×5.88267558565558e-06×40589641000000     		ar = 95509932.3644172m²