Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2055 / 6151
↖ ↑ ↗
← N 40.863679°
W134.846191°		 ← 1 847.73 m → N 40.863679°
W134.824219°		 →
↑
1 847.97 m
↓
↑
1 847.97 m
↓
N 40.847060°
W134.846191°		 ← 1 848.19 m →
3 414 975 m²		 N 40.847060°
W134.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125457763671875 y=0.375457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125457763671875 × 214)
    floor (0.125457763671875 × 16384)
    floor (2055.5)     		tx = 2055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375457763671875 × 214)
    floor (0.375457763671875 × 16384)
    floor (6151.5)     		ty = 6151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2055 / 6151 ti = "14/2055/6151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2055/6151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2055 ÷ 214
    2055 ÷ 16384     		x = 0.12542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6151 ÷ 214
    6151 ÷ 16384     		y = 0.37542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.7491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35351002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37542724609375 × 2 - 1) × π
    0.2491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.782713696996277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35351002} λ = -2.35351002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782713696996277))-π/2
    2×atan(2.18740015984927)-π/2
    2×1.14200104071044-π/2
    2.28400208142089-1.57079632675     		φ = 0.71320575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35351002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.846191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71320575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.863679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2055 KachelY 6151 -2.35351002 0.71320575 -134.846191 40.863679
    Oben rechts KachelX + 1 2056 KachelY 6151 -2.35312653 0.71320575 -134.824219 40.863679
    Unten links KachelX 2055 KachelY + 1 6152 -2.35351002 0.71291569 -134.846191 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 2056 KachelY + 1 6152 -2.35312653 0.71291569 -134.824219 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71320575-0.71291569) × R
    0.000290059999999981 × 6371000     		dl = 1847.97225999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71320575-0.71291569) × R
    0.000290059999999981 × 6371000     		dr = 1847.97225999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35351002--2.35312653) × cos(0.71320575) × R
    0.000383489999999931 × 0.756268366682297 × 6371000     		do = 1847.726058687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35351002--2.35312653) × cos(0.71291569) × R
    0.000383489999999931 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 1848.18964228536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71320575)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756268366682297-0.756458109966538)×R²
    abs(-2.35312653--2.35351002)×0.000189743284240707×R²
    0.000383489999999931×0.000189743284240707×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189743284240707×40589641000000     		ar = 3414974.869291m²