Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20550 / 4166
↖ ↑ ↗
← N 79.025896°
E 45.769043°		 ← 232.55 m → N 79.025896°
E 45.780029°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
N 79.023804°
E 45.769043°		 ← 232.59 m →
54 096 m²		 N 79.023804°
E 45.780029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627151489257812 y=0.127151489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627151489257812 × 215)
    floor (0.627151489257812 × 32768)
    floor (20550.5)     		tx = 20550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127151489257812 × 215)
    floor (0.127151489257812 × 32768)
    floor (4166.5)     		ty = 4166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20550 / 4166 ti = "15/20550/4166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20550/4166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20550 ÷ 215
    20550 ÷ 32768     		x = 0.62713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4166 ÷ 215
    4166 ÷ 32768     		y = 0.12713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62713623046875 × 2 - 1) × π
    0.2542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79882050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    0.7457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34277215823138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79882050} λ = 0.79882050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34277215823138))-π/2
    2×atan(10.4100549191878)-π/2
    2×1.4750292032846-π/2
    2.9500584065692-1.57079632675     		φ = 1.37926208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79882050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37926208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.025896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20550 KachelY 4166 0.79882050 1.37926208 45.769043 79.025896
    Oben rechts KachelX + 1 20551 KachelY 4166 0.79901224 1.37926208 45.780029 79.025896
    Unten links KachelX 20550 KachelY + 1 4167 0.79882050 1.37922557 45.769043 79.023804
    Unten rechts KachelX + 1 20551 KachelY + 1 4167 0.79901224 1.37922557 45.780029 79.023804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37926208-1.37922557) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37926208-1.37922557) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79882050-0.79901224) × cos(1.37926208) × R
    0.000191739999999996 × 0.19036530895704 × 6371000     		do = 232.545605086458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79882050-0.79901224) × cos(1.37922557) × R
    0.000191739999999996 × 0.190401151183589 × 6371000     		du = 232.58938907371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37926208)-sin(1.37922557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19036530895704-0.190401151183589)×R²
    abs(0.79901224-0.79882050)×3.58422265490932e-05×R²
    0.000191739999999996×3.58422265490932e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.58422265490932e-05×40589641000000     		ar = 54096.4115034967m²