Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20559 / 4175
↖ ↑ ↗
← N 79.007057°
E 45.867920°		 ← 232.95 m → N 79.007057°
E 45.878906°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
N 79.004962°
E 45.867920°		 ← 233 m →
54 265 m²		 N 79.004962°
E 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627426147460938 y=0.127426147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627426147460938 × 215)
    floor (0.627426147460938 × 32768)
    floor (20559.5)     		tx = 20559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127426147460938 × 215)
    floor (0.127426147460938 × 32768)
    floor (4175.5)     		ty = 4175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20559 / 4175 ti = "15/20559/4175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20559/4175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20559 ÷ 215
    20559 ÷ 32768     		x = 0.627410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4175 ÷ 215
    4175 ÷ 32768     		y = 0.127410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627410888671875 × 2 - 1) × π
    0.25482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80054622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34104642984506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80054622} λ = 0.80054622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34104642984506))-π/2
    2×atan(10.3921054842899)-π/2
    2×1.47486480465831-π/2
    2.94972960931662-1.57079632675     		φ = 1.37893328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80054622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.867920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37893328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.007057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20559 KachelY 4175 0.80054622 1.37893328 45.867920 79.007057
    Oben rechts KachelX + 1 20560 KachelY 4175 0.80073797 1.37893328 45.878906 79.007057
    Unten links KachelX 20559 KachelY + 1 4176 0.80054622 1.37889672 45.867920 79.004962
    Unten rechts KachelX + 1 20560 KachelY + 1 4176 0.80073797 1.37889672 45.878906 79.004962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37893328-1.37889672) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dl = 232.923760000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37893328-1.37889672) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dr = 232.923760000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80054622-0.80073797) × cos(1.37893328) × R
    0.000191750000000046 × 0.190688086001782 × 6371000     		do = 232.952050367208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80054622-0.80073797) × cos(1.37889672) × R
    0.000191750000000046 × 0.190723975023126 × 6371000     		du = 232.995893804326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37893328)-sin(1.37889672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190688086001782-0.190723975023126)×R²
    abs(0.80073797-0.80054622)×3.58890213441598e-05×R²
    0.000191750000000046×3.58890213441598e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.58890213441598e-05×40589641000000     		ar = 54265.1735668002m²