Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20560 / 4048
↖ ↑ ↗
← N 79.269962°
E 45.878906°		 ← 227.45 m → N 79.269962°
E 45.889893°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
N 79.267916°
E 45.878906°		 ← 227.49 m →
51 736 m²		 N 79.267916°
E 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627456665039062 y=0.123550415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627456665039062 × 215)
    floor (0.627456665039062 × 32768)
    floor (20560.5)     		tx = 20560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123550415039062 × 215)
    floor (0.123550415039062 × 32768)
    floor (4048.5)     		ty = 4048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20560 / 4048 ti = "15/20560/4048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20560/4048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20560 ÷ 215
    20560 ÷ 32768     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4048 ÷ 215
    4048 ÷ 32768     		y = 0.12353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12353515625 × 2 - 1) × π
    0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36539837485205))-π/2
    2×atan(10.6482799796292)-π/2
    2×1.4771590776523-π/2
    2.9543181553046-1.57079632675     		φ = 1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20560 KachelY 4048 0.80073797 1.38352183 45.878906 79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 20561 KachelY 4048 0.80092972 1.38352183 45.889893 79.269962
    Unten links KachelX 20560 KachelY + 1 4049 0.80073797 1.38348613 45.878906 79.267916
    Unten rechts KachelX + 1 20561 KachelY + 1 4049 0.80092972 1.38348613 45.889893 79.267916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38352183-1.38348613) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38352183-1.38348613) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80092972) × cos(1.38352183) × R
    0.000191749999999935 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 227.446922614349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80092972) × cos(1.38348613) × R
    0.000191749999999935 × 0.186216816822021 × 6371000     		du = 227.489772439764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38352183)-sin(1.38348613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186216816822021)×R²
    abs(0.80092972-0.80073797)×3.50756783681627e-05×R²
    0.000191749999999935×3.50756783681627e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.50756783681627e-05×40589641000000     		ar = 51736.4700680716m²