Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20560 / 4176
↖ ↑ ↗
← N 79.004962°
E 45.878906°		 ← 233 m → N 79.004962°
E 45.889893°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
N 79.002867°
E 45.878906°		 ← 233.04 m →
54 305 m²		 N 79.002867°
E 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627456665039062 y=0.127456665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627456665039062 × 215)
    floor (0.627456665039062 × 32768)
    floor (20560.5)     		tx = 20560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127456665039062 × 215)
    floor (0.127456665039062 × 32768)
    floor (4176.5)     		ty = 4176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20560 / 4176 ti = "15/20560/4176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20560/4176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20560 ÷ 215
    20560 ÷ 32768     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4176 ÷ 215
    4176 ÷ 32768     		y = 0.12744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34085468224658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34085468224658))-π/2
    2×atan(10.3901130140519)-π/2
    2×1.47484652094657-π/2
    2.94969304189314-1.57079632675     		φ = 1.37889672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37889672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.004962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20560 KachelY 4176 0.80073797 1.37889672 45.878906 79.004962
    Oben rechts KachelX + 1 20561 KachelY 4176 0.80092972 1.37889672 45.889893 79.004962
    Unten links KachelX 20560 KachelY + 1 4177 0.80073797 1.37886014 45.878906 79.002867
    Unten rechts KachelX + 1 20561 KachelY + 1 4177 0.80092972 1.37886014 45.889893 79.002867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37889672-1.37886014) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dl = 233.051179999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37889672-1.37886014) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dr = 233.051179999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80092972) × cos(1.37889672) × R
    0.000191749999999935 × 0.190723975023126 × 6371000     		do = 232.995893804192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80092972) × cos(1.37886014) × R
    0.000191749999999935 × 0.190759883422277 × 6371000     		du = 233.039760913999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37889672)-sin(1.37886014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190723975023126-0.190759883422277)×R²
    abs(0.80092972-0.80073797)×3.59083991505749e-05×R²
    0.000191749999999935×3.59083991505749e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.59083991505749e-05×40589641000000     		ar = 54305.0796330154m²