Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 206 / 342
↖ ↑ ↗
← S 51.618016°
W 35.156250°		 ← 48.545 km → S 51.618016°
W 34.453125°		 →
↑
48.311 km
↓
↑
48.311 km
↓
S 52.052490°
W 35.156250°		 ← 48.078 km →
2 334 km²		 S 52.052490°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4033203125 y=0.6689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4033203125 × 29)
    floor (0.4033203125 × 512)
    floor (206.5)     		tx = 206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6689453125 × 29)
    floor (0.6689453125 × 512)
    floor (342.5)     		ty = 342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 206 / 342 ti = "9/206/342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/206/342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 206 ÷ 29
    206 ÷ 512     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 342 ÷ 29
    342 ÷ 512     		y = 0.66796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66796875 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05537878203516))-π/2
    2×atan(0.348060563245402)-π/2
    2×0.334945992344302-π/2
    0.669891984688605-1.57079632675     		φ = -0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 206 KachelY 342 -0.61359232 -0.90090434 -35.156250 -51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 207 KachelY 342 -0.60132047 -0.90090434 -34.453125 -51.618016
    Unten links KachelX 206 KachelY + 1 343 -0.61359232 -0.90848734 -35.156250 -52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 207 KachelY + 1 343 -0.60132047 -0.90848734 -34.453125 -52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90090434--0.90848734) × R
    0.00758300000000001 × 6371000     		dl = 48311.293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90090434--0.90848734) × R
    0.00758300000000001 × 6371000     		dr = 48311.293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.60132047) × cos(-0.90090434) × R
    0.01227185 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 48544.5217258601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.60132047) × cos(-0.90848734) × R
    0.01227185 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 48078.3872008485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90090434)-sin(-0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.60132047--0.61359232)×0.00596202273168189×R²
    0.01227185×0.00596202273168189×6371000²
    0.01227185×0.00596202273168189×40589641000000     		ar = 2334000015.96345m²