Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20604 / 4236
↖ ↑ ↗
← N 78.878528°
E 46.362305°		 ← 235.63 m → N 78.878528°
E 46.373291°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
N 78.876409°
E 46.362305°		 ← 235.67 m →
55 534 m²		 N 78.876409°
E 46.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628799438476562 y=0.129287719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628799438476562 × 215)
    floor (0.628799438476562 × 32768)
    floor (20604.5)     		tx = 20604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129287719726562 × 215)
    floor (0.129287719726562 × 32768)
    floor (4236.5)     		ty = 4236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20604 / 4236 ti = "15/20604/4236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20604/4236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20604 ÷ 215
    20604 ÷ 32768     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4236 ÷ 215
    4236 ÷ 32768     		y = 0.1292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32934982633777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32934982633777))-π/2
    2×atan(10.2712612580615)-π/2
    2×1.47374317720891-π/2
    2.94748635441782-1.57079632675     		φ = 1.37669003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37669003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.878528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20604 KachelY 4236 0.80917487 1.37669003 46.362305 78.878528
    Oben rechts KachelX + 1 20605 KachelY 4236 0.80936661 1.37669003 46.373291 78.878528
    Unten links KachelX 20604 KachelY + 1 4237 0.80917487 1.37665304 46.362305 78.876409
    Unten rechts KachelX + 1 20605 KachelY + 1 4237 0.80936661 1.37665304 46.373291 78.876409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37669003-1.37665304) × R
    3.69899999999035e-05 × 6371000     		dl = 235.663289999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37669003-1.37665304) × R
    3.69899999999035e-05 × 6371000     		dr = 235.663289999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80936661) × cos(1.37669003) × R
    0.000191739999999996 × 0.192889692251314 × 6371000     		do = 235.629329972327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80936661) × cos(1.37665304) × R
    0.000191739999999996 × 0.192925987463697 × 6371000     		du = 235.673667315994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37669003)-sin(1.37665304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192889692251314-0.192925987463697)×R²
    abs(0.80936661-0.80917487)×3.62952123836024e-05×R²
    0.000191739999999996×3.62952123836024e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.62952123836024e-05×40589641000000     		ar = 55534.4074697716m²