Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20607 / 12415
↖ ↑ ↗
← N 39.918163°
E 46.395264°		 ← 936.95 m → N 39.918163°
E 46.406250°		 →
↑
936.98 m
↓
↑
936.98 m
↓
N 39.909736°
E 46.395264°		 ← 937.07 m →
877 961 m²		 N 39.909736°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628890991210938 y=0.378890991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628890991210938 × 215)
    floor (0.628890991210938 × 32768)
    floor (20607.5)     		tx = 20607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378890991210938 × 215)
    floor (0.378890991210938 × 32768)
    floor (12415.5)     		ty = 12415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20607 / 12415 ti = "15/20607/12415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20607/12415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20607 ÷ 215
    20607 ÷ 32768     		x = 0.628875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12415 ÷ 215
    12415 ÷ 32768     		y = 0.378875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    0.25775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80975011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    0.24224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761046218368011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80975011} λ = 0.80975011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761046218368011))-π/2
    2×atan(2.14051449501238)-π/2
    2×1.13374984989941-π/2
    2.26749969979882-1.57079632675     		φ = 0.69670337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80975011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69670337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.918163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20607 KachelY 12415 0.80975011 0.69670337 46.395264 39.918163
    Oben rechts KachelX + 1 20608 KachelY 12415 0.80994186 0.69670337 46.406250 39.918163
    Unten links KachelX 20607 KachelY + 1 12416 0.80975011 0.69655630 46.395264 39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 20608 KachelY + 1 12416 0.80994186 0.69655630 46.406250 39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69670337-0.69655630) × R
    0.000147070000000027 × 6371000     		dl = 936.982970000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69670337-0.69655630) × R
    0.000147070000000027 × 6371000     		dr = 936.982970000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80975011-0.80994186) × cos(0.69670337) × R
    0.000191750000000046 × 0.766961774731557 × 6371000     		do = 936.950607261953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80975011-0.80994186) × cos(0.69655630) × R
    0.000191750000000046 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 937.065887816229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69670337)-sin(0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766961774731557-0.767056140195237)×R²
    abs(0.80994186-0.80975011)×9.43654636796909e-05×R²
    0.000191750000000046×9.43654636796909e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.43654636796909e-05×40589641000000     		ar = 877960.772276548m²