Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20608 / 28800
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E 46.406250°		 ← 224.03 m → S 79.432371°
E 46.417236°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 79.434385°
E 46.406250°		 ← 223.99 m →
50 179 m²		 S 79.434385°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628921508789062 y=0.878921508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)     		tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878921508789062 × 215)
    floor (0.878921508789062 × 32768)
    floor (28800.5)     		ty = 28800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20608 / 28800 ti = "15/20608/28800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20608/28800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28800 ÷ 215
    28800 ÷ 32768     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 28800 0.80994186 -1.38635640 46.406250 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 28800 0.81013360 -1.38635640 46.417236 -79.432371
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 28801 0.80994186 -1.38639156 46.406250 -79.434385
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 28801 0.81013360 -1.38639156 46.417236 -79.434385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38639156) × R
    3.51600000001451e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38639156) × R
    3.51600000001451e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(-1.38635640) × R
    0.000191739999999996 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 224.032053624836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(-1.38639156) × R
    0.000191739999999996 × 0.183361424681352 × 6371000     		du = 223.989831370286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38639156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183361424681352)×R²
    abs(0.81013360-0.80994186)×3.45637688110856e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45637688110856e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45637688110856e-05×40589641000000     		ar = 50179.4278124647m²