Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20608 / 29056
↖ ↑ ↗
← S 79.935918°
E 46.406250°		 ← 213.47 m → S 79.935918°
E 46.417236°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 79.937838°
E 46.406250°		 ← 213.43 m →
45 570 m²		 S 79.937838°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628921508789062 y=0.886734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)     		tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.886734008789062 × 215)
    floor (0.886734008789062 × 32768)
    floor (29056.5)     		ty = 29056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20608 / 29056 ti = "15/20608/29056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20608/29056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29056 ÷ 215
    29056 ÷ 32768     		y = 0.88671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88671875 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.42982556794141))-π/2
    2×atan(0.0880521903677181)-π/2
    2×0.0878256814024389-π/2
    0.175651362804878-1.57079632675     		φ = -1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 29056 0.80994186 -1.39514496 46.406250 -79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 29056 0.81013360 -1.39514496 46.417236 -79.935918
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 29057 0.80994186 -1.39517847 46.406250 -79.937838
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 29057 0.81013360 -1.39517847 46.417236 -79.937838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39514496--1.39517847) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39514496--1.39517847) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(-1.39514496) × R
    0.000191739999999996 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 213.469737771528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(-1.39517847) × R
    0.000191739999999996 × 0.174716524305433 × 6371000     		du = 213.429432525327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39514496)-sin(-1.39517847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.174716524305433)×R²
    abs(0.81013360-0.80994186)×3.29944771166324e-05×R²
    0.000191739999999996×3.29944771166324e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.29944771166324e-05×40589641000000     		ar = 45569.8236609747m²