Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20608 / 4224
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E 46.406250°		 ← 235.10 m → N 78.903929°
E 46.417236°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
N 78.901815°
E 46.406250°		 ← 235.14 m →
55 289 m²		 N 78.901815°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628921508789062 y=0.128921508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)     		tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128921508789062 × 215)
    floor (0.128921508789062 × 32768)
    floor (4224.5)     		ty = 4224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20608 / 4224 ti = "15/20608/4224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20608/4224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4224 ÷ 215
    4224 ÷ 32768     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 4224 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 4224 0.81013360 1.37713336 46.417236 78.903929
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 4225 0.80994186 1.37709645 46.406250 78.901815
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 4225 0.81013360 1.37709645 46.417236 78.901815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37709645) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37709645) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.37713336) × R
    0.000191739999999996 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 235.097916024919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.37709645) × R
    0.000191739999999996 × 0.192490888717522 × 6371000     		du = 235.142161330181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37709645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192490888717522)×R²
    abs(0.81013360-0.80994186)×3.62198683691306e-05×R²
    0.000191739999999996×3.62198683691306e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.62198683691306e-05×40589641000000     		ar = 55289.3258848485m²