Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20609 / 4223
↖ ↑ ↗
← N 78.906044°
E 46.417236°		 ← 235.07 m → N 78.906044°
E 46.428223°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 78.903929°
E 46.417236°		 ← 235.11 m →
55 267 m²		 N 78.903929°
E 46.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628952026367188 y=0.128890991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628952026367188 × 215)
    floor (0.628952026367188 × 32768)
    floor (20609.5)     		tx = 20609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128890991210938 × 215)
    floor (0.128890991210938 × 32768)
    floor (4223.5)     		ty = 4223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20609 / 4223 ti = "15/20609/4223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20609/4223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20609 ÷ 215
    20609 ÷ 32768     		x = 0.628936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4223 ÷ 215
    4223 ÷ 32768     		y = 0.128875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628936767578125 × 2 - 1) × π
    0.25787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81013360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128875732421875 × 2 - 1) × π
    0.74224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33184254511801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81013360} λ = 0.81013360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33184254511801))-π/2
    2×atan(10.2968965614232)-π/2
    2×1.47398329331128-π/2
    2.94796658662255-1.57079632675     		φ = 1.37717026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81013360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37717026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.906044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20609 KachelY 4223 0.81013360 1.37717026 46.417236 78.906044
    Oben rechts KachelX + 1 20610 KachelY 4223 0.81032535 1.37717026 46.428223 78.906044
    Unten links KachelX 20609 KachelY + 1 4224 0.81013360 1.37713336 46.417236 78.903929
    Unten rechts KachelX + 1 20610 KachelY + 1 4224 0.81032535 1.37713336 46.428223 78.903929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37717026-1.37713336) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37717026-1.37713336) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81013360-0.81032535) × cos(1.37717026) × R
    0.000191750000000046 × 0.192418458531723 × 6371000     		do = 235.065941366906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81013360-0.81032535) × cos(1.37713336) × R
    0.000191750000000046 × 0.192454668849152 × 6371000     		du = 235.110177311933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37717026)-sin(1.37713336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192418458531723-0.192454668849152)×R²
    abs(0.81032535-0.81013360)×3.62103174297856e-05×R²
    0.000191750000000046×3.62103174297856e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.62103174297856e-05×40589641000000     		ar = 55266.8283675033m²