Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20610 / 4222
↖ ↑ ↗
← N 78.908157°
E 46.428223°		 ← 235.02 m → N 78.908157°
E 46.439209°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
N 78.906044°
E 46.428223°		 ← 235.07 m →
55 241 m²		 N 78.906044°
E 46.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628982543945312 y=0.128860473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628982543945312 × 215)
    floor (0.628982543945312 × 32768)
    floor (20610.5)     		tx = 20610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128860473632812 × 215)
    floor (0.128860473632812 × 32768)
    floor (4222.5)     		ty = 4222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20610 / 4222 ti = "15/20610/4222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20610/4222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20610 ÷ 215
    20610 ÷ 32768     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4222 ÷ 215
    4222 ÷ 32768     		y = 0.12884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    0.7423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33203429271649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33203429271649))-π/2
    2×atan(10.2988711559165)-π/2
    2×1.47400173946444-π/2
    2.94800347892889-1.57079632675     		φ = 1.37720715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37720715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.908157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20610 KachelY 4222 0.81032535 1.37720715 46.428223 78.908157
    Oben rechts KachelX + 1 20611 KachelY 4222 0.81051710 1.37720715 46.439209 78.908157
    Unten links KachelX 20610 KachelY + 1 4223 0.81032535 1.37717026 46.428223 78.906044
    Unten rechts KachelX + 1 20611 KachelY + 1 4223 0.81051710 1.37717026 46.439209 78.906044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37720715-1.37717026) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37720715-1.37717026) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81051710) × cos(1.37720715) × R
    0.000191749999999935 × 0.192382257765495 × 6371000     		do = 235.021717089866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81051710) × cos(1.37717026) × R
    0.000191749999999935 × 0.192418458531723 × 6371000     		du = 235.06594136677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37720715)-sin(1.37717026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192382257765495-0.192418458531723)×R²
    abs(0.81051710-0.81032535)×3.6200766228095e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6200766228095e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6200766228095e-05×40589641000000     		ar = 55241.4556728849m²