Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20612 / 12420
↖ ↑ ↗
← N 39.876019°
E 46.450196°		 ← 937.48 m → N 39.876019°
E 46.461181°		 →
↑
937.56 m
↓
↑
937.56 m
↓
N 39.867588°
E 46.450196°		 ← 937.59 m →
878 993 m²		 N 39.867588°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629043579101562 y=0.379043579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629043579101562 × 215)
    floor (0.629043579101562 × 32768)
    floor (20612.5)     		tx = 20612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379043579101562 × 215)
    floor (0.379043579101562 × 32768)
    floor (12420.5)     		ty = 12420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20612 / 12420 ti = "15/20612/12420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20612/12420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20612 ÷ 215
    20612 ÷ 32768     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12420 ÷ 215
    12420 ÷ 32768     		y = 0.3790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.76008748037561))-π/2
    2×atan(2.1384632858859)-π/2
    2×1.13338207911991-π/2
    2.26676415823981-1.57079632675     		φ = 0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20612 KachelY 12420 0.81070885 0.69596783 46.450196 39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 20613 KachelY 12420 0.81090059 0.69596783 46.461181 39.876019
    Unten links KachelX 20612 KachelY + 1 12421 0.81070885 0.69582067 46.450196 39.867588
    Unten rechts KachelX + 1 20613 KachelY + 1 12421 0.81090059 0.69582067 46.461181 39.867588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69596783-0.69582067) × R
    0.000147159999999924 × 6371000     		dl = 937.556359999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69596783-0.69582067) × R
    0.000147159999999924 × 6371000     		dr = 937.556359999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(0.69596783) × R
    0.000191739999999996 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 937.478062946004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(0.69582067) × R
    0.000191739999999996 × 0.76752789809062 × 6371000     		du = 937.593306575093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69596783)-sin(0.69582067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.76752789809062)×R²
    abs(0.81090059-0.81070885)×9.43401577024883e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43401577024883e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43401577024883e-05×40589641000000     		ar = 878992.545559871m²