Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20612 / 4228
↖ ↑ ↗
← N 78.895468°
E 46.450196°		 ← 235.27 m → N 78.895468°
E 46.461181°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
N 78.893353°
E 46.450196°		 ← 235.32 m →
55 361 m²		 N 78.893353°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629043579101562 y=0.129043579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629043579101562 × 215)
    floor (0.629043579101562 × 32768)
    floor (20612.5)     		tx = 20612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129043579101562 × 215)
    floor (0.129043579101562 × 32768)
    floor (4228.5)     		ty = 4228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20612 / 4228 ti = "15/20612/4228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20612/4228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20612 ÷ 215
    20612 ÷ 32768     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4228 ÷ 215
    4228 ÷ 32768     		y = 0.1290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1290283203125 × 2 - 1) × π
    0.741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33088380712561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33088380712561))-π/2
    2×atan(10.2870292663171)-π/2
    2×1.47389101046434-π/2
    2.94778202092868-1.57079632675     		φ = 1.37698569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37698569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.895468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20612 KachelY 4228 0.81070885 1.37698569 46.450196 78.895468
    Oben rechts KachelX + 1 20613 KachelY 4228 0.81090059 1.37698569 46.461181 78.895468
    Unten links KachelX 20612 KachelY + 1 4229 0.81070885 1.37694876 46.450196 78.893353
    Unten rechts KachelX + 1 20613 KachelY + 1 4229 0.81090059 1.37694876 46.461181 78.893353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37698569-1.37694876) × R
    3.6929999999824e-05 × 6371000     		dl = 235.281029998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37698569-1.37694876) × R
    3.6929999999824e-05 × 6371000     		dr = 235.281029998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.37698569) × R
    0.000191739999999996 × 0.192599576187317 × 6371000     		do = 235.274931284788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.37694876) × R
    0.000191739999999996 × 0.192635814631625 × 6371000     		du = 235.319199281962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37698569)-sin(1.37694876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192599576187317-0.192635814631625)×R²
    abs(0.81090059-0.81070885)×3.62384443077512e-05×R²
    0.000191739999999996×3.62384443077512e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.62384443077512e-05×40589641000000     		ar = 55360.9358821743m²