Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20616 / 4488
↖ ↑ ↗
← N 78.331648°
E 46.494141°		 ← 247.06 m → N 78.331648°
E 46.505127°		 →
↑
247.07 m
↓
↑
247.07 m
↓
N 78.329426°
E 46.494141°		 ← 247.11 m →
61 046 m²		 N 78.329426°
E 46.505127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629165649414062 y=0.136978149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629165649414062 × 215)
    floor (0.629165649414062 × 32768)
    floor (20616.5)     		tx = 20616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136978149414062 × 215)
    floor (0.136978149414062 × 32768)
    floor (4488.5)     		ty = 4488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20616 / 4488 ti = "15/20616/4488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20616/4488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20616 ÷ 215
    20616 ÷ 32768     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4488 ÷ 215
    4488 ÷ 32768     		y = 0.136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136962890625 × 2 - 1) × π
    0.72607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28102943152075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28102943152075))-π/2
    2×atan(9.78675001460597)-π/2
    2×1.46897075059901-π/2
    2.93794150119803-1.57079632675     		φ = 1.36714517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36714517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.331648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20616 KachelY 4488 0.81147584 1.36714517 46.494141 78.331648
    Oben rechts KachelX + 1 20617 KachelY 4488 0.81166758 1.36714517 46.505127 78.331648
    Unten links KachelX 20616 KachelY + 1 4489 0.81147584 1.36710639 46.494141 78.329426
    Unten rechts KachelX + 1 20617 KachelY + 1 4489 0.81166758 1.36710639 46.505127 78.329426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36714517-1.36710639) × R
    3.8779999999905e-05 × 6371000     		dl = 247.067379999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36714517-1.36710639) × R
    3.8779999999905e-05 × 6371000     		dr = 247.067379999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81166758) × cos(1.36714517) × R
    0.000191740000000107 × 0.202246375366095 × 6371000     		do = 247.059225201018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81166758) × cos(1.36710639) × R
    0.000191740000000107 × 0.202284353812664 × 6371000     		du = 247.105618742394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36714517)-sin(1.36710639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202246375366095-0.202284353812664)×R²
    abs(0.81166758-0.81147584)×3.79784465691924e-05×R²
    0.000191740000000107×3.79784465691924e-05×6371000²
    0.000191740000000107×3.79784465691924e-05×40589641000000     		ar = 61046.0066481003m²