Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2062 / 2062
↖ ↑ ↗
← S  1.230374°
E  1.230469°		 ← 9 770.73 m → S  1.230374°
E  1.318359°		 →
↑
9 770.57 m
↓
↑
9 770.57 m
↓
S  1.318243°
E  1.230469°		 ← 9 770.40 m →
95 463 981 m²		 S  1.318243°
E  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5035400390625 y=0.5035400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5035400390625 × 212)
    floor (0.5035400390625 × 4096)
    floor (2062.5)     		tx = 2062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5035400390625 × 212)
    floor (0.5035400390625 × 4096)
    floor (2062.5)     		ty = 2062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2062 / 2062 ti = "12/2062/2062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2062/2062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2062 ÷ 212
    2062 ÷ 4096     		x = 0.50341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2062 ÷ 212
    2062 ÷ 4096     		y = 0.50341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02147573} λ = 0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0214757310297852))-π/2
    2×atan(0.978753230513914)-π/2
    2×0.774661123183897-π/2
    1.54932224636779-1.57079632675     		φ = -0.02147408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02147408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.230374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2062 KachelY 2062 0.02147573 -0.02147408 1.230469 -1.230374
    Oben rechts KachelX + 1 2063 KachelY 2062 0.02300971 -0.02147408 1.318359 -1.230374
    Unten links KachelX 2062 KachelY + 1 2063 0.02147573 -0.02300768 1.230469 -1.318243
    Unten rechts KachelX + 1 2063 KachelY + 1 2063 0.02300971 -0.02300768 1.318359 -1.318243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02147408--0.02300768) × R
    0.0015336 × 6371000     		dl = 9770.5656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02147408--0.02300768) × R
    0.0015336 × 6371000     		dr = 9770.5656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02147573-0.02300971) × cos(-0.02147408) × R
    0.00153398 × 0.999769440804212 × 6371000     		do = 9770.73332807367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02147573-0.02300971) × cos(-0.02300768) × R
    0.00153398 × 0.999735335005926 × 6371000     		du = 9770.40001256472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02147408)-sin(-0.02300768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999769440804212-0.999735335005926)×R²
    abs(0.02300971-0.02147573)×3.41057982859994e-05×R²
    0.00153398×3.41057982859994e-05×6371000²
    0.00153398×3.41057982859994e-05×40589641000000     		ar = 95463981.3119031m²