Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20623 / 4239
↖ ↑ ↗
← N 78.872169°
E 46.571045°		 ← 235.77 m → N 78.872169°
E 46.582031°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
N 78.870049°
E 46.571045°		 ← 235.82 m →
55 599 m²		 N 78.870049°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629379272460938 y=0.129379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629379272460938 × 215)
    floor (0.629379272460938 × 32768)
    floor (20623.5)     		tx = 20623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129379272460938 × 215)
    floor (0.129379272460938 × 32768)
    floor (4239.5)     		ty = 4239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20623 / 4239 ti = "15/20623/4239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20623/4239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20623 ÷ 215
    20623 ÷ 32768     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4239 ÷ 215
    4239 ÷ 32768     		y = 0.129364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    0.74127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32877458354233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32877458354233))-π/2
    2×atan(10.265354488099)-π/2
    2×1.47368768234518-π/2
    2.94737536469035-1.57079632675     		φ = 1.37657904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37657904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.872169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20623 KachelY 4239 0.81281807 1.37657904 46.571045 78.872169
    Oben rechts KachelX + 1 20624 KachelY 4239 0.81300982 1.37657904 46.582031 78.872169
    Unten links KachelX 20623 KachelY + 1 4240 0.81281807 1.37654203 46.571045 78.870049
    Unten rechts KachelX + 1 20624 KachelY + 1 4240 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37657904-1.37654203) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37657904-1.37654203) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81300982) × cos(1.37657904) × R
    0.000191750000000046 × 0.192998596720477 × 6371000     		do = 235.774660948713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81300982) × cos(1.37654203) × R
    0.000191750000000046 × 0.193034910764488 × 6371000     		du = 235.819023610203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37657904)-sin(1.37654203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192998596720477-0.193034910764488)×R²
    abs(0.81300982-0.81281807)×3.6314044010971e-05×R²
    0.000191750000000046×3.6314044010971e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.6314044010971e-05×40589641000000     		ar = 55598.7048631464m²