Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2064 / 2064
↖ ↑ ↗
← S  1.406109°
E  1.406250°		 ← 9 770.04 m → S  1.406109°
E  1.494140°		 →
↑
9 769.86 m
↓
↑
9 769.86 m
↓
S  1.493971°
E  1.406250°		 ← 9 769.66 m →
95 450 172 m²		 S  1.493971°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5040283203125 y=0.5040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5040283203125 × 212)
    floor (0.5040283203125 × 4096)
    floor (2064.5)     		tx = 2064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5040283203125 × 212)
    floor (0.5040283203125 × 4096)
    floor (2064.5)     		ty = 2064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2064 / 2064 ti = "12/2064/2064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2064/2064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2064 ÷ 212
    2064 ÷ 4096     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2064 ÷ 212
    2064 ÷ 4096     		y = 0.50390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50390625 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(0.975755054706375)-π/2
    2×0.773127548987936-π/2
    1.54625509797587-1.57079632675     		φ = -0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2064 KachelY 2064 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 2065 KachelY 2064 0.02607767 -0.02454123 1.494140 -1.406109
    Unten links KachelX 2064 KachelY + 1 2065 0.02454369 -0.02607472 1.406250 -1.493971
    Unten rechts KachelX + 1 2065 KachelY + 1 2065 0.02607767 -0.02607472 1.494140 -1.493971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02454123--0.02607472) × R
    0.00153349 × 6371000     		dl = 9769.86478999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02454123--0.02607472) × R
    0.00153349 × 6371000     		dr = 9769.86478999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02607767) × cos(-0.02454123) × R
    0.00153398 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 9770.0437297644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02607767) × cos(-0.02607472) × R
    0.00153398 × 0.999660073748516 × 6371000     		du = 9769.66448530606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02454123)-sin(-0.02607472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.999660073748516)×R²
    abs(0.02607767-0.02454369)×3.88053800376431e-05×R²
    0.00153398×3.88053800376431e-05×6371000²
    0.00153398×3.88053800376431e-05×40589641000000     		ar = 95450172.3536311m²