Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20644 / 4260
↖ ↑ ↗
← N 78.827554°
E 46.801758°		 ← 236.71 m → N 78.827554°
E 46.812744°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 78.825425°
E 46.801758°		 ← 236.75 m →
56 030 m²		 N 78.825425°
E 46.812744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630020141601562 y=0.130020141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630020141601562 × 215)
    floor (0.630020141601562 × 32768)
    floor (20644.5)     		tx = 20644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130020141601562 × 215)
    floor (0.130020141601562 × 32768)
    floor (4260.5)     		ty = 4260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20644 / 4260 ti = "15/20644/4260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20644/4260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20644 ÷ 215
    20644 ÷ 32768     		x = 0.6300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4260 ÷ 215
    4260 ÷ 32768     		y = 0.1300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6300048828125 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81684477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1300048828125 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32474788397424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81684477} λ = 0.81684477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32474788397424))-π/2
    2×atan(10.2241021008404)-π/2
    2×1.47329834005924-π/2
    2.94659668011848-1.57079632675     		φ = 1.37580035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81684477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37580035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.827554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20644 KachelY 4260 0.81684477 1.37580035 46.801758 78.827554
    Oben rechts KachelX + 1 20645 KachelY 4260 0.81703652 1.37580035 46.812744 78.827554
    Unten links KachelX 20644 KachelY + 1 4261 0.81684477 1.37576320 46.801758 78.825425
    Unten rechts KachelX + 1 20645 KachelY + 1 4261 0.81703652 1.37576320 46.812744 78.825425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37580035-1.37576320) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37580035-1.37576320) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81684477-0.81703652) × cos(1.37580035) × R
    0.000191750000000046 × 0.193762588004863 × 6371000     		do = 236.707982688377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81684477-0.81703652) × cos(1.37576320) × R
    0.000191750000000046 × 0.193799033821031 × 6371000     		du = 236.752506327906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37580035)-sin(1.37576320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193762588004863-0.193799033821031)×R²
    abs(0.81703652-0.81684477)×3.64458161677961e-05×R²
    0.000191750000000046×3.64458161677961e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.64458161677961e-05×40589641000000     		ar = 56029.9416122828m²