Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2065 / 2063
↖ ↑ ↗
← S  1.318243°
E  1.494140°		 ← 9 770.40 m → S  1.318243°
E  1.582031°		 →
↑
9 770.25 m
↓
↑
9 770.25 m
↓
S  1.406109°
E  1.494140°		 ← 9 770.04 m →
95 457 500 m²		 S  1.406109°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5042724609375 y=0.5037841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5042724609375 × 212)
    floor (0.5042724609375 × 4096)
    floor (2065.5)     		tx = 2065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5037841796875 × 212)
    floor (0.5037841796875 × 4096)
    floor (2063.5)     		ty = 2063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2065 / 2063 ti = "12/2065/2063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2065/2063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2065 ÷ 212
    2065 ÷ 4096     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2063 ÷ 212
    2063 ÷ 4096     		y = 0.503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.023009711817627))-π/2
    2×atan(0.977252992824348)-π/2
    2×0.773894322555879-π/2
    1.54778864511176-1.57079632675     		φ = -0.02300768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02300768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.318243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2065 KachelY 2063 0.02607767 -0.02300768 1.494140 -1.318243
    Oben rechts KachelX + 1 2066 KachelY 2063 0.02761165 -0.02300768 1.582031 -1.318243
    Unten links KachelX 2065 KachelY + 1 2064 0.02607767 -0.02454123 1.494140 -1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 2066 KachelY + 1 2064 0.02761165 -0.02454123 1.582031 -1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02300768--0.02454123) × R
    0.00153355 × 6371000     		dl = 9770.24705000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02300768--0.02454123) × R
    0.00153355 × 6371000     		dr = 9770.24705000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02761165) × cos(-0.02300768) × R
    0.00153398 × 0.999735335005926 × 6371000     		do = 9770.40001256472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02761165) × cos(-0.02454123) × R
    0.00153398 × 0.999698879128554 × 6371000     		du = 9770.0437297644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02300768)-sin(-0.02454123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999735335005926-0.999698879128554)×R²
    abs(0.02761165-0.02607767)×3.64558773723322e-05×R²
    0.00153398×3.64558773723322e-05×6371000²
    0.00153398×3.64558773723322e-05×40589641000000     		ar = 95457500.122477m²