Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2065 / 2067
↖ ↑ ↗
← S  1.669686°
E  1.494140°		 ← 9 768.84 m → S  1.669686°
E  1.582031°		 →
↑
9 768.59 m
↓
↑
9 768.59 m
↓
S  1.757537°
E  1.494140°		 ← 9 768.39 m →
95 425 600 m²		 S  1.757537°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5042724609375 y=0.5047607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5042724609375 × 212)
    floor (0.5042724609375 × 4096)
    floor (2065.5)     		tx = 2065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5047607421875 × 212)
    floor (0.5047607421875 × 4096)
    floor (2067.5)     		ty = 2067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2065 / 2067 ti = "12/2065/2067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2065/2067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2065 ÷ 212
    2065 ÷ 4096     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2067 ÷ 212
    2067 ÷ 4096     		y = 0.504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0291456349689941))-π/2
    2×atan(0.971275002561072)-π/2
    2×0.770827408665351-π/2
    1.5416548173307-1.57079632675     		φ = -0.02914151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02914151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.669686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2065 KachelY 2067 0.02607767 -0.02914151 1.494140 -1.669686
    Oben rechts KachelX + 1 2066 KachelY 2067 0.02761165 -0.02914151 1.582031 -1.669686
    Unten links KachelX 2065 KachelY + 1 2068 0.02607767 -0.03067480 1.494140 -1.757537
    Unten rechts KachelX + 1 2066 KachelY + 1 2068 0.02761165 -0.03067480 1.582031 -1.757537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02914151--0.03067480) × R
    0.00153329 × 6371000     		dl = 9768.59059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02914151--0.03067480) × R
    0.00153329 × 6371000     		dr = 9768.59059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02761165) × cos(-0.02914151) × R
    0.00153398 × 0.99957541624609 × 6371000     		do = 9768.83712867095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02761165) × cos(-0.03067480) × R
    0.00153398 × 0.999529565211923 × 6371000     		du = 9768.38902712936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02914151)-sin(-0.03067480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99957541624609-0.999529565211923)×R²
    abs(0.02761165-0.02607767)×4.58510341667662e-05×R²
    0.00153398×4.58510341667662e-05×6371000²
    0.00153398×4.58510341667662e-05×40589641000000     		ar = 95425600.4854194m²