Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20671 / 4031
↖ ↑ ↗
← N 79.304679°
E 47.098388°		 ← 226.72 m → N 79.304679°
E 47.109375°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
N 79.302640°
E 47.098388°		 ← 226.76 m →
51 412 m²		 N 79.302640°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630844116210938 y=0.123031616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630844116210938 × 215)
    floor (0.630844116210938 × 32768)
    floor (20671.5)     		tx = 20671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123031616210938 × 215)
    floor (0.123031616210938 × 32768)
    floor (4031.5)     		ty = 4031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20671 / 4031 ti = "15/20671/4031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20671/4031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20671 ÷ 215
    20671 ÷ 32768     		x = 0.630828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4031 ÷ 215
    4031 ÷ 32768     		y = 0.123016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630828857421875 × 2 - 1) × π
    0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123016357421875 × 2 - 1) × π
    0.75396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36865808402621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82202195} λ = 0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36865808402621))-π/2
    2×atan(10.6830469098233)-π/2
    2×1.47746204138884-π/2
    2.95492408277768-1.57079632675     		φ = 1.38412776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38412776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.304679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20671 KachelY 4031 0.82202195 1.38412776 47.098388 79.304679
    Oben rechts KachelX + 1 20672 KachelY 4031 0.82221370 1.38412776 47.109375 79.304679
    Unten links KachelX 20671 KachelY + 1 4032 0.82202195 1.38409217 47.098388 79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 20672 KachelY + 1 4032 0.82221370 1.38409217 47.109375 79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38412776-1.38409217) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38412776-1.38409217) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82202195-0.82221370) × cos(1.38412776) × R
    0.000191750000000046 × 0.185586371492202 × 6371000     		do = 226.719595680009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82202195-0.82221370) × cos(1.38409217) × R
    0.000191750000000046 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 226.762318373117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38412776)-sin(1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185586371492202-0.18562134310359)×R²
    abs(0.82221370-0.82202195)×3.49716113886567e-05×R²
    0.000191750000000046×3.49716113886567e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.49716113886567e-05×40589641000000     		ar = 51412.1266242285m²