Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20672 / 4288
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
E 47.109375°		 ← 237.96 m → N 78.767792°
E 47.120361°		 →
↑
237.96 m
↓
↑
237.96 m
↓
N 78.765652°
E 47.109375°		 ← 238 m →
56 629 m²		 N 78.765652°
E 47.120361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630874633789062 y=0.130874633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630874633789062 × 215)
    floor (0.630874633789062 × 32768)
    floor (20672.5)     		tx = 20672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130874633789062 × 215)
    floor (0.130874633789062 × 32768)
    floor (4288.5)     		ty = 4288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20672 / 4288 ti = "15/20672/4288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20672/4288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20672 ÷ 215
    20672 ÷ 32768     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4288 ÷ 215
    4288 ÷ 32768     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20672 KachelY 4288 0.82221370 1.37475731 47.109375 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 20673 KachelY 4288 0.82240545 1.37475731 47.120361 78.767792
    Unten links KachelX 20672 KachelY + 1 4289 0.82221370 1.37471996 47.109375 78.765652
    Unten rechts KachelX + 1 20673 KachelY + 1 4289 0.82240545 1.37471996 47.120361 78.765652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37471996) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dl = 237.956849999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37471996) × R
    3.7349999999936e-05 × 6371000     		dr = 237.956849999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82240545) × cos(1.37475731) × R
    0.000191749999999935 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 237.957923885046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82240545) × cos(1.37471996) × R
    0.000191749999999935 × 0.194822389648636 × 6371000     		du = 238.002677973487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37471996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.194822389648636)×R²
    abs(0.82240545-0.82221370)×3.66344552549247e-05×R²
    0.000191749999999935×3.66344552549247e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.66344552549247e-05×40589641000000     		ar = 56629.0427772085m²