Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 207 / 335
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 34.453125°		 ← 51.849 km → S 48.458352°
W 33.750000°		 →
↑
51.611 km
↓
↑
51.611 km
↓
S 48.922499°
W 34.453125°		 ← 51.373 km →
2 663.70 km²		 S 48.922499°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4052734375 y=0.6552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4052734375 × 29)
    floor (0.4052734375 × 512)
    floor (207.5)     		tx = 207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6552734375 × 29)
    floor (0.6552734375 × 512)
    floor (335.5)     		ty = 335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 207 / 335 ti = "9/207/335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/207/335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 207 ÷ 29
    207 ÷ 512     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 335 ÷ 29
    335 ÷ 512     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 207 KachelY 335 -0.60132047 -0.84575779 -34.453125 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 208 KachelY 335 -0.58904862 -0.84575779 -33.750000 -48.458352
    Unten links KachelX 207 KachelY + 1 336 -0.60132047 -0.85385869 -34.453125 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 208 KachelY + 1 336 -0.58904862 -0.85385869 -33.750000 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.85385869) × R
    0.00810090000000008 × 6371000     		dl = 51610.8339000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.85385869) × R
    0.00810090000000008 × 6371000     		dr = 51610.8339000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.58904862) × cos(-0.84575779) × R
    0.01227185 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 51848.8076629677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.58904862) × cos(-0.85385869) × R
    0.01227185 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 51373.0578627245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.58904862--0.60132047)×0.00608500544681345×R²
    0.01227185×0.00608500544681345×6371000²
    0.01227185×0.00608500544681345×40589641000000     		ar = 2663697845.26781m²