Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2073 / 2041
↖ ↑ ↗
← N  0.615223°
E  2.197266°		 ← 9 772.42 m → N  0.615223°
E  2.285156°		 →
↑
9 772.54 m
↓
↑
9 772.54 m
↓
N  0.527336°
E  2.197266°		 ← 9 772.57 m →
95 502 152 m²		 N  0.527336°
E  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5062255859375 y=0.4984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5062255859375 × 212)
    floor (0.5062255859375 × 4096)
    floor (2073.5)     		tx = 2073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4984130859375 × 212)
    floor (0.4984130859375 × 4096)
    floor (2041.5)     		ty = 2041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2073 / 2041 ti = "12/2073/2041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2073/2041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2073 ÷ 212
    2073 ÷ 4096     		x = 0.506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2041 ÷ 212
    2041 ÷ 4096     		y = 0.498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506103515625 × 2 - 1) × π
    0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03834952} λ = 0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0107378655148926))-π/2
    2×atan(1.01079572329705)-π/2
    2×0.790766992983306-π/2
    1.58153398596661-1.57079632675     		φ = 0.01073766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01073766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.615223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2073 KachelY 2041 0.03834952 0.01073766 2.197266 0.615223
    Oben rechts KachelX + 1 2074 KachelY 2041 0.03988350 0.01073766 2.285156 0.615223
    Unten links KachelX 2073 KachelY + 1 2042 0.03834952 0.00920375 2.197266 0.527336
    Unten rechts KachelX + 1 2074 KachelY + 1 2042 0.03988350 0.00920375 2.285156 0.527336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01073766-0.00920375) × R
    0.00153391 × 6371000     		dl = 9772.54061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01073766-0.00920375) × R
    0.00153391 × 6371000     		dr = 9772.54061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03834952-0.03988350) × cos(0.01073766) × R
    0.00153398 × 0.999942351882755 × 6371000     		do = 9772.42318572383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03834952-0.03988350) × cos(0.00920375) × R
    0.00153398 × 0.999957645791952 × 6371000     		du = 9772.57265289317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01073766)-sin(0.00920375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999942351882755-0.999957645791952)×R²
    abs(0.03988350-0.03834952)×1.52939091969673e-05×R²
    0.00153398×1.52939091969673e-05×6371000²
    0.00153398×1.52939091969673e-05×40589641000000     		ar = 95502151.5030078m²