Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20735 / 12545
↖ ↑ ↗
← N 38.814031°
E 47.801514°		 ← 951.88 m → N 38.814031°
E 47.812500°		 →
↑
951.95 m
↓
↑
951.95 m
↓
N 38.805470°
E 47.801514°		 ← 952 m →
906 203 m²		 N 38.805470°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632797241210938 y=0.382858276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632797241210938 × 215)
    floor (0.632797241210938 × 32768)
    floor (20735.5)     		tx = 20735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382858276367188 × 215)
    floor (0.382858276367188 × 32768)
    floor (12545.5)     		ty = 12545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20735 / 12545 ti = "15/20735/12545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20735/12545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20735 ÷ 215
    20735 ÷ 32768     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12545 ÷ 215
    12545 ÷ 32768     		y = 0.382843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    0.23431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736119030565582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736119030565582))-π/2
    2×atan(2.08781701683675)-π/2
    2×1.12411448284551-π/2
    2.24822896569103-1.57079632675     		φ = 0.67743264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67743264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.814031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20735 KachelY 12545 0.83429380 0.67743264 47.801514 38.814031
    Oben rechts KachelX + 1 20736 KachelY 12545 0.83448555 0.67743264 47.812500 38.814031
    Unten links KachelX 20735 KachelY + 1 12546 0.83429380 0.67728322 47.801514 38.805470
    Unten rechts KachelX + 1 20736 KachelY + 1 12546 0.83448555 0.67728322 47.812500 38.805470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67743264-0.67728322) × R
    0.000149420000000067 × 6371000     		dl = 951.954820000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67743264-0.67728322) × R
    0.000149420000000067 × 6371000     		dr = 951.954820000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83448555) × cos(0.67743264) × R
    0.000191750000000046 × 0.77918449241498 × 6371000     		do = 951.882358925695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83448555) × cos(0.67728322) × R
    0.000191750000000046 × 0.779278139372293 × 6371000     		du = 951.996761724392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67743264)-sin(0.67728322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77918449241498-0.779278139372293)×R²
    abs(0.83448555-0.83429380)×9.364695731362e-05×R²
    0.000191750000000046×9.364695731362e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.364695731362e-05×40589641000000     		ar = 906203.454485881m²