Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20736 / 28928
↖ ↑ ↗
← S 79.687184°
E 47.812500°		 ← 218.70 m → S 79.687184°
E 47.823487°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 79.689151°
E 47.812500°		 ← 218.66 m →
47 815 m²		 S 79.689151°
E 47.823487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632827758789062 y=0.882827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632827758789062 × 215)
    floor (0.632827758789062 × 32768)
    floor (20736.5)     		tx = 20736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882827758789062 × 215)
    floor (0.882827758789062 × 32768)
    floor (28928.5)     		ty = 28928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20736 / 28928 ti = "15/20736/28928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20736/28928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20736 ÷ 215
    20736 ÷ 32768     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28928 ÷ 215
    28928 ÷ 32768     		y = 0.8828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8828125 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40528187533594))-π/2
    2×atan(0.0902400555785128)-π/2
    2×0.0899962958339908-π/2
    0.179992591667982-1.57079632675     		φ = -1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20736 KachelY 28928 0.83448555 -1.39080374 47.812500 -79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 20737 KachelY 28928 0.83467730 -1.39080374 47.823487 -79.687184
    Unten links KachelX 20736 KachelY + 1 28929 0.83448555 -1.39083806 47.812500 -79.689151
    Unten rechts KachelX + 1 20737 KachelY + 1 28929 0.83467730 -1.39083806 47.823487 -79.689151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39080374--1.39083806) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39080374--1.39083806) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.83467730) × cos(-1.39080374) × R
    0.000191749999999935 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 218.700643855094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.83467730) × cos(-1.39083806) × R
    0.000191749999999935 × 0.178988514319311 × 6371000     		du = 218.659394391583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39080374)-sin(-1.39083806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.178988514319311)×R²
    abs(0.83467730-0.83448555)×3.37656665098107e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37656665098107e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37656665098107e-05×40589641000000     		ar = 47814.9809955759m²