Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20752 / 12560
↖ ↑ ↗
← N 38.685510°
E 47.988281°		 ← 953.60 m → N 38.685510°
E 47.999268°		 →
↑
953.67 m
↓
↑
953.67 m
↓
N 38.676933°
E 47.988281°		 ← 953.71 m →
909 477 m²		 N 38.676933°
E 47.999268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633316040039062 y=0.383316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633316040039062 × 215)
    floor (0.633316040039062 × 32768)
    floor (20752.5)     		tx = 20752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383316040039062 × 215)
    floor (0.383316040039062 × 32768)
    floor (12560.5)     		ty = 12560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20752 / 12560 ti = "15/20752/12560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20752/12560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20752 ÷ 215
    20752 ÷ 32768     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12560 ÷ 215
    12560 ÷ 32768     		y = 0.38330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733242816588379))-π/2
    2×atan(2.08182063592218)-π/2
    2×1.12299292245157-π/2
    2.24598584490315-1.57079632675     		φ = 0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20752 KachelY 12560 0.83755351 0.67518952 47.988281 38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 20753 KachelY 12560 0.83774526 0.67518952 47.999268 38.685510
    Unten links KachelX 20752 KachelY + 1 12561 0.83755351 0.67503983 47.988281 38.676933
    Unten rechts KachelX + 1 20753 KachelY + 1 12561 0.83774526 0.67503983 47.999268 38.676933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67518952-0.67503983) × R
    0.00014968999999998 × 6371000     		dl = 953.674989999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67518952-0.67503983) × R
    0.00014968999999998 × 6371000     		dr = 953.674989999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(0.67518952) × R
    0.000191750000000046 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 953.597557728737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(0.67503983) × R
    0.000191750000000046 × 0.78068206085306 × 6371000     		du = 953.711847309216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67518952)-sin(0.67503983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.78068206085306)×R²
    abs(0.83774526-0.83755351)×9.3554280020447e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3554280020447e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3554280020447e-05×40589641000000     		ar = 909476.640585712m²