Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20752 / 28944
↖ ↑ ↗
← S 79.718605°
E 47.988281°		 ← 218.04 m → S 79.718605°
E 47.999268°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
S 79.720566°
E 47.988281°		 ← 218 m →
47 532 m²		 S 79.720566°
E 47.999268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633316040039062 y=0.883316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633316040039062 × 215)
    floor (0.633316040039062 × 32768)
    floor (20752.5)     		tx = 20752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883316040039062 × 215)
    floor (0.883316040039062 × 32768)
    floor (28944.5)     		ty = 28944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20752 / 28944 ti = "15/20752/28944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20752/28944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20752 ÷ 215
    20752 ÷ 32768     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28944 ÷ 215
    28944 ÷ 32768     		y = 0.88330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40834983691162))-π/2
    2×atan(0.0899636268086538)-π/2
    2×0.0897220931370342-π/2
    0.179444186274068-1.57079632675     		φ = -1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20752 KachelY 28944 0.83755351 -1.39135214 47.988281 -79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 20753 KachelY 28944 0.83774526 -1.39135214 47.999268 -79.718605
    Unten links KachelX 20752 KachelY + 1 28945 0.83755351 -1.39138636 47.988281 -79.720566
    Unten rechts KachelX + 1 20753 KachelY + 1 28945 0.83774526 -1.39138636 47.999268 -79.720566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39135214--1.39138636) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dl = 218.01562000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39135214--1.39138636) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dr = 218.01562000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(-1.39135214) × R
    0.000191750000000046 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 218.041487017116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(-1.39138636) × R
    0.000191750000000046 × 0.178449041848526 × 6371000     		du = 218.000353647105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39135214)-sin(-1.39138636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.178449041848526)×R²
    abs(0.83774526-0.83755351)×3.36706355921479e-05×R²
    0.000191750000000046×3.36706355921479e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.36706355921479e-05×40589641000000     		ar = 47531.9661235042m²