Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 208 / 337
↖ ↑ ↗
← S 49.382373°
W 33.750000°		 ← 50.898 km → S 49.382373°
W 33.046875°		 →
↑
50.661 km
↓
↑
50.661 km
↓
S 49.837983°
W 33.750000°		 ← 50.425 km →
2 566.60 km²		 S 49.837983°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4072265625 y=0.6591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4072265625 × 29)
    floor (0.4072265625 × 512)
    floor (208.5)     		tx = 208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6591796875 × 29)
    floor (0.6591796875 × 512)
    floor (337.5)     		ty = 337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 208 / 337 ti = "9/208/337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/208/337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 208 ÷ 29
    208 ÷ 512     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 337 ÷ 29
    337 ÷ 512     		y = 0.658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994019550521484))-π/2
    2×atan(0.370086117464643)-π/2
    2×0.354455664616414-π/2
    0.708911329232827-1.57079632675     		φ = -0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 208 KachelY 337 -0.58904862 -0.86188500 -33.750000 -49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 209 KachelY 337 -0.57677678 -0.86188500 -33.046875 -49.382373
    Unten links KachelX 208 KachelY + 1 338 -0.58904862 -0.86983689 -33.750000 -49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 209 KachelY + 1 338 -0.57677678 -0.86983689 -33.046875 -49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86188500--0.86983689) × R
    0.00795188999999996 × 6371000     		dl = 50661.4911899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86188500--0.86983689) × R
    0.00795188999999996 × 6371000     		dr = 50661.4911899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.57677678) × cos(-0.86188500) × R
    0.01227184 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 50898.3221174682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.57677678) × cos(-0.86983689) × R
    0.01227184 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 50424.7960320347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86188500)-sin(-0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.644951208354603)×R²
    abs(-0.57677678--0.58904862)×0.00605656829615653×R²
    0.01227184×0.00605656829615653×6371000²
    0.01227184×0.00605656829615653×40589641000000     		ar = 2566603653.16021m²