Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2081 / 2015
↖ ↑ ↗
← N  2.899153°
E  2.900391°		 ← 9 760.48 m → N  2.899153°
E  2.988281°		 →
↑
9 760.88 m
↓
↑
9 760.88 m
↓
N  2.811371°
E  2.900391°		 ← 9 761.22 m →
95 274 531 m²		 N  2.811371°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5081787109375 y=0.4920654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5081787109375 × 212)
    floor (0.5081787109375 × 4096)
    floor (2081.5)     		tx = 2081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4920654296875 × 212)
    floor (0.4920654296875 × 4096)
    floor (2015.5)     		ty = 2015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2081 / 2015 ti = "12/2081/2015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2081/2015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2081 ÷ 212
    2081 ÷ 4096     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2015 ÷ 212
    2015 ÷ 4096     		y = 0.491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(1.05192452347848)-π/2
    2×0.810698043450215-π/2
    1.62139608690043-1.57079632675     		φ = 0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2081 KachelY 2015 0.05062137 0.05059976 2.900391 2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 2082 KachelY 2015 0.05215535 0.05059976 2.988281 2.899153
    Unten links KachelX 2081 KachelY + 1 2016 0.05062137 0.04906768 2.900391 2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 2082 KachelY + 1 2016 0.05215535 0.04906768 2.988281 2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05059976-0.04906768) × R
    0.00153208 × 6371000     		dl = 9760.88167999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05059976-0.04906768) × R
    0.00153208 × 6371000     		dr = 9760.88167999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05215535) × cos(0.05059976) × R
    0.00153398 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 9760.47818587195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05215535) × cos(0.04906768) × R
    0.00153398 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 9761.22403715569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05059976)-sin(0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.9987964229002)×R²
    abs(0.05215535-0.05062137)×7.63176412488242e-05×R²
    0.00153398×7.63176412488242e-05×6371000²
    0.00153398×7.63176412488242e-05×40589641000000     		ar = 95274531.4318307m²