Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2081 / 2145
↖ ↑ ↗
← S  8.494104°
E  2.900391°		 ← 9 665.79 m → S  8.494104°
E  2.988281°		 →
↑
9 664.68 m
↓
↑
9 664.68 m
↓
S  8.581021°
E  2.900391°		 ← 9 663.59 m →
93 406 120 m²		 S  8.581021°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5081787109375 y=0.5238037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5081787109375 × 212)
    floor (0.5081787109375 × 4096)
    floor (2081.5)     		tx = 2081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5238037109375 × 212)
    floor (0.5238037109375 × 4096)
    floor (2145.5)     		ty = 2145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2081 / 2145 ti = "12/2081/2145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2081/2145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2081 ÷ 212
    2081 ÷ 4096     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2145 ÷ 212
    2145 ÷ 4096     		y = 0.523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148796136420654))-π/2
    2×atan(0.861744775367353)-π/2
    2×0.711273117805116-π/2
    1.42254623561023-1.57079632675     		φ = -0.14825009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14825009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.494104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2081 KachelY 2145 0.05062137 -0.14825009 2.900391 -8.494104
    Oben rechts KachelX + 1 2082 KachelY 2145 0.05215535 -0.14825009 2.988281 -8.494104
    Unten links KachelX 2081 KachelY + 1 2146 0.05062137 -0.14976707 2.900391 -8.581021
    Unten rechts KachelX + 1 2082 KachelY + 1 2146 0.05215535 -0.14976707 2.988281 -8.581021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14825009--0.14976707) × R
    0.00151698 × 6371000     		dl = 9664.67958000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14825009--0.14976707) × R
    0.00151698 × 6371000     		dr = 9664.67958000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05215535) × cos(-0.14825009) × R
    0.00153398 × 0.989031067185378 × 6371000     		do = 9665.7873468058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05215535) × cos(-0.14976707) × R
    0.00153398 × 0.988805859736353 × 6371000     		du = 9663.58639742876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14825009)-sin(-0.14976707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989031067185378-0.988805859736353)×R²
    abs(0.05215535-0.05062137)×0.000225207449025322×R²
    0.00153398×0.000225207449025322×6371000²
    0.00153398×0.000225207449025322×40589641000000     		ar = 93406119.7724481m²