Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2084 / 2148
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
E  3.164063°		 ← 9 659.12 m → S  8.754795°
E  3.251953°		 →
↑
9 657.99 m
↓
↑
9 657.99 m
↓
S  8.841651°
E  3.164063°		 ← 9 656.85 m →
93 276 753 m²		 S  8.841651°
E  3.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5089111328125 y=0.5245361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5089111328125 × 212)
    floor (0.5089111328125 × 4096)
    floor (2084.5)     		tx = 2084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5245361328125 × 212)
    floor (0.5245361328125 × 4096)
    floor (2148.5)     		ty = 2148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2084 / 2148 ti = "12/2084/2148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2084/2148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2084 ÷ 212
    2084 ÷ 4096     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2148 ÷ 212
    2148 ÷ 4096     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2084 KachelY 2148 0.05522331 -0.15279999 3.164063 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 2085 KachelY 2148 0.05675729 -0.15279999 3.251953 -8.754795
    Unten links KachelX 2084 KachelY + 1 2149 0.05522331 -0.15431592 3.164063 -8.841651
    Unten rechts KachelX + 1 2085 KachelY + 1 2149 0.05675729 -0.15431592 3.251953 -8.841651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15431592) × R
    0.00151593 × 6371000     		dl = 9657.99002999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15431592) × R
    0.00151593 × 6371000     		dr = 9657.99002999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05675729) × cos(-0.15279999) × R
    0.00153398 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 9659.1193364611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05675729) × cos(-0.15431592) × R
    0.00153398 × 0.988116907926707 × 6371000     		du = 9656.85328063882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15431592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.988116907926707)×R²
    abs(0.05675729-0.05522331)×0.000231869327121492×R²
    0.00153398×0.000231869327121492×6371000²
    0.00153398×0.000231869327121492×40589641000000     		ar = 93276753.3406905m²