Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20864 / 12160
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
E 49.218750°		 ← 907.38 m → N 42.032975°
E 49.229736°		 →
↑
907.42 m
↓
↑
907.42 m
↓
N 42.024814°
E 49.218750°		 ← 907.50 m →
823 433 m²		 N 42.024814°
E 49.229736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636734008789062 y=0.371109008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636734008789062 × 215)
    floor (0.636734008789062 × 32768)
    floor (20864.5)     		tx = 20864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371109008789062 × 215)
    floor (0.371109008789062 × 32768)
    floor (12160.5)     		ty = 12160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20864 / 12160 ti = "15/20864/12160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20864/12160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20864 ÷ 215
    20864 ÷ 32768     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12160 ÷ 215
    12160 ÷ 32768     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20864 KachelY 12160 0.85902924 0.73361380 49.218750 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 20865 KachelY 12160 0.85922099 0.73361380 49.229736 42.032975
    Unten links KachelX 20864 KachelY + 1 12161 0.85902924 0.73347137 49.218750 42.024814
    Unten rechts KachelX + 1 20865 KachelY + 1 12161 0.85922099 0.73347137 49.229736 42.024814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.73347137) × R
    0.000142430000000027 × 6371000     		dl = 907.42153000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.73347137) × R
    0.000142430000000027 × 6371000     		dr = 907.42153000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85922099) × cos(0.73361380) × R
    0.000191749999999935 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 907.38429079806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85922099) × cos(0.73347137) × R
    0.000191749999999935 × 0.742854965925451 × 6371000     		du = 907.500783431636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.73347137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.742854965925451)×R²
    abs(0.85922099-0.85902924)×9.5357638170479e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5357638170479e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5357638170479e-05×40589641000000     		ar = 823432.896807208m²