Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20864 / 4480
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
E 49.218750°		 ← 246.70 m → N 78.349410°
E 49.229736°		 →
↑
246.69 m
↓
↑
246.69 m
↓
N 78.347192°
E 49.218750°		 ← 246.75 m →
60 863 m²		 N 78.347192°
E 49.229736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636734008789062 y=0.136734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636734008789062 × 215)
    floor (0.636734008789062 × 32768)
    floor (20864.5)     		tx = 20864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136734008789062 × 215)
    floor (0.136734008789062 × 32768)
    floor (4480.5)     		ty = 4480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20864 / 4480 ti = "15/20864/4480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20864/4480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20864 ÷ 215
    20864 ÷ 32768     		x = 0.63671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4480 ÷ 215
    4480 ÷ 32768     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63671875 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85902924} λ = 0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20864 KachelY 4480 0.85902924 1.36745518 49.218750 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 20865 KachelY 4480 0.85922099 1.36745518 49.229736 78.349410
    Unten links KachelX 20864 KachelY + 1 4481 0.85902924 1.36741646 49.218750 78.347192
    Unten rechts KachelX + 1 20865 KachelY + 1 4481 0.85922099 1.36741646 49.229736 78.347192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36741646) × R
    3.87200000000476e-05 × 6371000     		dl = 246.685120000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36741646) × R
    3.87200000000476e-05 × 6371000     		dr = 246.685120000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85902924-0.85922099) × cos(1.36745518) × R
    0.000191749999999935 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 246.701204447044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85902924-0.85922099) × cos(1.36741646) × R
    0.000191749999999935 × 0.20198068422316 × 6371000     		du = 246.747531588784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36741646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.20198068422316)×R²
    abs(0.85922099-0.85902924)×3.79221130465401e-05×R²
    0.000191749999999935×3.79221130465401e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.79221130465401e-05×40589641000000     		ar = 60863.2303389869m²