Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20865 / 4479
↖ ↑ ↗
← N 78.351629°
E 49.229736°		 ← 246.65 m → N 78.351629°
E 49.240723°		 →
↑
246.69 m
↓
↑
246.69 m
↓
N 78.349410°
E 49.229736°		 ← 246.70 m →
60 852 m²		 N 78.349410°
E 49.240723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636764526367188 y=0.136703491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636764526367188 × 215)
    floor (0.636764526367188 × 32768)
    floor (20865.5)     		tx = 20865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136703491210938 × 215)
    floor (0.136703491210938 × 32768)
    floor (4479.5)     		ty = 4479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20865 / 4479 ti = "15/20865/4479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20865/4479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20865 ÷ 215
    20865 ÷ 32768     		x = 0.636749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4479 ÷ 215
    4479 ÷ 32768     		y = 0.136688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636749267578125 × 2 - 1) × π
    0.27349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85922099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136688232421875 × 2 - 1) × π
    0.72662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28275515990707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85922099} λ = 0.85922099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28275515990707))-π/2
    2×atan(9.80365386845106)-π/2
    2×1.46914511436265-π/2
    2.93829022872529-1.57079632675     		φ = 1.36749390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85922099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.229736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36749390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.351629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20865 KachelY 4479 0.85922099 1.36749390 49.229736 78.351629
    Oben rechts KachelX + 1 20866 KachelY 4479 0.85941274 1.36749390 49.240723 78.351629
    Unten links KachelX 20865 KachelY + 1 4480 0.85922099 1.36745518 49.229736 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 20866 KachelY + 1 4480 0.85941274 1.36745518 49.240723 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36749390-1.36745518) × R
    3.87199999998256e-05 × 6371000     		dl = 246.685119998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36749390-1.36745518) × R
    3.87199999998256e-05 × 6371000     		dr = 246.685119998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85922099-0.85941274) × cos(1.36749390) × R
    0.000191750000000046 × 0.201904839694307 × 6371000     		do = 246.654876935582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85922099-0.85941274) × cos(1.36745518) × R
    0.000191750000000046 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 246.701204447186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36749390)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201904839694307-0.201942762110113)×R²
    abs(0.85941274-0.85922099)×3.79224158066627e-05×R²
    0.000191750000000046×3.79224158066627e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.79224158066627e-05×40589641000000     		ar = 60851.8020766525m²