Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20866 / 3970
↖ ↑ ↗
← N 79.428340°
E 49.240723°		 ← 224.12 m → N 79.428340°
E 49.251709°		 →
↑
224.13 m
↓
↑
224.13 m
↓
N 79.426325°
E 49.240723°		 ← 224.16 m →
50 236 m²		 N 79.426325°
E 49.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636795043945312 y=0.121170043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636795043945312 × 215)
    floor (0.636795043945312 × 32768)
    floor (20866.5)     		tx = 20866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121170043945312 × 215)
    floor (0.121170043945312 × 32768)
    floor (3970.5)     		ty = 3970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20866 / 3970 ti = "15/20866/3970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20866/3970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20866 ÷ 215
    20866 ÷ 32768     		x = 0.63677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3970 ÷ 215
    3970 ÷ 32768     		y = 0.12115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85941274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12115478515625 × 2 - 1) × π
    0.7576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38035468753351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85941274} λ = 0.85941274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38035468753351))-π/2
    2×atan(10.8087359080042)-π/2
    2×1.47854119222791-π/2
    2.95708238445583-1.57079632675     		φ = 1.38628606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85941274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38628606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.428340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20866 KachelY 3970 0.85941274 1.38628606 49.240723 79.428340
    Oben rechts KachelX + 1 20867 KachelY 3970 0.85960448 1.38628606 49.251709 79.428340
    Unten links KachelX 20866 KachelY + 1 3971 0.85941274 1.38625088 49.240723 79.426325
    Unten rechts KachelX + 1 20867 KachelY + 1 3971 0.85960448 1.38625088 49.251709 79.426325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38628606-1.38625088) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dl = 224.13178000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38628606-1.38625088) × R
    3.51800000000235e-05 × 6371000     		dr = 224.13178000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85941274-0.85960448) × cos(1.38628606) × R
    0.000191739999999996 × 0.18346513496811 × 6371000     		do = 224.116521319837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85941274-0.85960448) × cos(1.38625088) × R
    0.000191739999999996 × 0.183499717716902 × 6371000     		du = 224.158766759868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38628606)-sin(1.38625088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18346513496811-0.183499717716902)×R²
    abs(0.85960448-0.85941274)×3.45827487925887e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45827487925887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45827487925887e-05×40589641000000     		ar = 50236.3691282846m²