Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20866 / 4482
↖ ↑ ↗
← N 78.344972°
E 49.240723°		 ← 246.78 m → N 78.344972°
E 49.251709°		 →
↑
246.81 m
↓
↑
246.81 m
↓
N 78.342753°
E 49.240723°		 ← 246.83 m →
60 914 m²		 N 78.342753°
E 49.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636795043945312 y=0.136795043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636795043945312 × 215)
    floor (0.636795043945312 × 32768)
    floor (20866.5)     		tx = 20866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136795043945312 × 215)
    floor (0.136795043945312 × 32768)
    floor (4482.5)     		ty = 4482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20866 / 4482 ti = "15/20866/4482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20866/4482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20866 ÷ 215
    20866 ÷ 32768     		x = 0.63677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4482 ÷ 215
    4482 ÷ 32768     		y = 0.13677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85941274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13677978515625 × 2 - 1) × π
    0.7264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28217991711163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85941274} λ = 0.85941274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28217991711163))-π/2
    2×atan(9.79801600891874)-π/2
    2×1.46908702584925-π/2
    2.9381740516985-1.57079632675     		φ = 1.36737772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85941274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36737772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.344972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20866 KachelY 4482 0.85941274 1.36737772 49.240723 78.344972
    Oben rechts KachelX + 1 20867 KachelY 4482 0.85960448 1.36737772 49.251709 78.344972
    Unten links KachelX 20866 KachelY + 1 4483 0.85941274 1.36733898 49.240723 78.342753
    Unten rechts KachelX + 1 20867 KachelY + 1 4483 0.85960448 1.36733898 49.251709 78.342753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36737772-1.36733898) × R
    3.87399999999261e-05 × 6371000     		dl = 246.812539999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36737772-1.36733898) × R
    3.87399999999261e-05 × 6371000     		dr = 246.812539999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85941274-0.85960448) × cos(1.36737772) × R
    0.000191739999999996 × 0.202018625621023 × 6371000     		do = 246.781011683053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85941274-0.85960448) × cos(1.36733898) × R
    0.000191739999999996 × 0.202056566715699 × 6371000     		du = 246.82735959627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36737772)-sin(1.36733898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202018625621023-0.202056566715699)×R²
    abs(0.85960448-0.85941274)×3.79410946758085e-05×R²
    0.000191739999999996×3.79410946758085e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.79410946758085e-05×40589641000000     		ar = 60914.3679476233m²